結論
PC版のGTA5では、ディスプレイのリフレッシュレートが高いとガソリンの消費が速くなってしまう不具合があるようです。
メニュー「OPTIONS」→「グラフィックス」→「スクリーンタイプ」を「フルスクリーン」にして、「リフレッシュレート」を「50Hz」に設定したら解決しました。
ガソリンが足りなくなる原因と解決方法
原因
GTA5攻略Wikiのガソリンのページ（https://w.atwiki.jp/gtav/pages/901.html）に書いてあったのですが、使用しているディスプレイが特定のリフレッシュレート以上だとガソリンの消費速度が速くなる不具合（バグ）があるようです。
発生環境
使用ディスプレイ：ASUS VG258 165Hz
ゲーム内設定：ウィンドウ表示（フチなし）
リフレッシュレートは「自動」（なので恐らくMAXの165Hz）
リフレッシュレートが幾つから不具合が発生するかは分かりませんが、最近主流の144Hz等でも不具合が発生する可能性は高いです。60Hzぐらいなら恐らく大丈夫でしょう。
ついでに攻略
このミッションをクリアするには不具合を解決するか、ガソリンが足りなくなったら近くのアミュネーションでガソリンを買い足すという方法もありますが、ゴールドメダルを取るには「1回でガソリンの道を引く」必要があるので、買い足す方法では達成できません。
ですので面倒ですがオプションからリフレッシュレートの設定を変更しましょう。グラフィックの設定を変更するとゲーム自体再起動しなければならないゲームも多いのでまだマシ。頑張りましょう。
以上です。リフレッシュレート低くしても直らない人は他にもグラフィック周りの設定変えたりしてみてください。